Pha, phép quay và giao thoa

Chuẩn bị: số phức là một mũi tên

Trong Bài 2, mỗi số phức $z = a + bi$ được xem là một mũi tên đi từ gốc tọa độ tới điểm $(a, b)$ . Một mũi tên được xác định bởi hai thông tin:

độ dài $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ , gọi là mô-đun;
hướng $\arg z$ , gọi là argument. Trong tài liệu này, ta gọi hướng đó là pha của số phức.

Mọi số phức khác 0 viết được dưới dạng mũ $z = r e^{i\varphi}$ : độ dài $r$ , pha $\varphi$ . Ba quy tắc từ bài giảng sẽ dùng xuyên suốt:

|e^{i\varphi}| = 1, \qquad e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}, \qquad \overline{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}.

Quy tắc thứ hai nói rằng nhân hai số có độ dài 1 thì cộng các góc. Đây là chìa khóa của mọi phần dưới đây.

Slide 16 · Mệnh đề 2.19

1. Vì sao tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 0

Các căn bậc $n$ của đơn vị là $n$ mũi tên dài bằng nhau, chia đều một vòng tròn. Chúng "kéo" về mọi phía như nhau, nên tổng của chúng bằng 0.

Đặt $\omega = e^{2\pi i/n}$ : mũi tên dài 1, quay đúng $1/n$ vòng. Các lũy thừa $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ lần lượt quay thêm $1/n$ vòng mỗi lần, nên chúng là $n$ đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị.

Ví dụ thực tế 1: kéo co nhiều phía

Có $n$ người đứng cách đều nhau quanh một chiếc vòng sắt, mỗi người kéo một sợi dây buộc vào vòng với cùng một lực. Chiếc vòng không dịch chuyển về phía nào: lực của mỗi người bị các lực còn lại cân bằng. Nếu chọn đơn vị lực bằng 1, mỗi lực kéo là một mũi tên dài 1, và các hướng chia đều 360°. Đó chính là các căn bậc $n$ của đơn vị. "Vòng đứng yên" nghĩa là tổng các mũi tên bằng 0.

Ví dụ thực tế 2: điện ba pha

Lưới điện công nghiệp dùng dòng điện ba pha: ba dòng xoay chiều cùng biên độ, lệch nhau 120°. Kỹ sư điện biểu diễn mỗi dòng bằng một số phức (gọi là phasor). Ba dòng này tương ứng với $1, \omega, \omega^2$ khi $n = 3$ . Vì $1 + \omega + \omega^2 = 0$ , khi ba pha mang tải cân bằng, dòng điện trên dây trung tính bằng 0. Đẳng thức trong slide 16 vì vậy có mặt trong mọi trạm biến áp.

Số căn

n

Hình 1. Trái:

n

căn bậc

n

của đơn vị. Phải: cộng chúng bằng cách nối đầu nối đuôi (mũi tên sau bắt đầu tại đầu mũi tên trước). Với mọi

n \ge 2

, đường nối khép kín và quay về gốc, tức là tổng bằng 0.

Hai cách chứng minh

Cách đại số. Đây là tổng của một cấp số nhân có công bội $\omega \ne 1$ , và $\omega^n = e^{2\pi i} = 1$ :

1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0.

Cách hình học. Gọi tổng là $S$ . Nhân $S$ với $\omega$ nghĩa là quay toàn bộ đa giác đi $1/n$ vòng. Phép quay này chỉ đổi chỗ các đỉnh cho nhau, nên tổng không đổi: $\omega S = S$ . Vì $\omega \ne 1$ , ta phải có $S = 0$ . Đây chính là lập luận "vòng sắt đứng yên" viết bằng ký hiệu.

Vì sao cần biết điều này. Ở Bài 26, biến đổi Fourier lượng tử dùng các tổng dạng $\sum_k \omega^{jk}$ . Tổng này bằng $n$ nếu $n$ chia hết $j$ và bằng 0 trong mọi trường hợp còn lại (bài tập H12). Hầu hết các số hạng tự triệt tiêu, chỉ "tần số đúng" còn lại.

Slide 17 · Định nghĩa 2.20, Mệnh đề 2.21

2. Nhóm U(1): quay mà không làm thay đổi độ dài

Nhân một số phức với $u = e^{i\alpha}$ là quay mũi tên một góc $\alpha$ . Độ dài giữ nguyên, và luôn quay ngược lại được.

$U(1)$ là tên gọi của tập các số phức có mô-đun 1, tức các điểm trên đường tròn đơn vị:

U(1) = \{\, u \in \mathbb{C} : |u| = 1 \,\} = \{\, e^{i\alpha} : \alpha \in \mathbb{R} \,\}.

Theo Định lý 2.11, nhân với $w$ là phóng to theo tỉ số $|w|$ rồi quay góc $\arg w$ . Khi $|w| = 1$ , phần phóng to biến mất, chỉ còn phép quay.

Ví dụ thực tế: kim đồng hồ và màn hình điện thoại

Kim phút quay suốt ngày nhưng không bao giờ dài ra hay ngắn đi: vị trí của nó thay đổi, độ dài thì không. Tương tự, khi xoay một bức ảnh trên điện thoại, ảnh đổi hướng nhưng không to lên hay nhỏ đi, và xoay ngược lại thì ảnh trở về như cũ. Đó là hành vi của phép nhân với một phần tử của $U(1)$ .

Ngược lại, thao tác phóng to bằng hai ngón tay làm thay đổi kích thước. Nó tương ứng với phép nhân với một số có mô-đun khác 1, và không thuộc $U(1)$ .

Góc quay

\alpha

Nhân thêm hệ số 2 (khi đó số nhân có mô-đun 2, không thuộc

U(1)

)

Hình 2. Mũi tên xám là

z = 1{,}5 + 0{,}7i

; mũi tên xanh là kết quả sau phép nhân. Đường tròn nét đứt có bán kính

|z|

: khi chỉ quay, đầu mũi tên luôn nằm trên đường tròn này.

Hai tính chất, mỗi tính chất một dòng chứng minh

Giữ độ dài: $|uz| = |u|\cdot|z| = 1\cdot|z| = |z|$ .

Đảo ngược được: $u\bar u = |u|^2 = 1$ , nên nhân thêm với $\bar u = e^{-i\alpha}$ sẽ quay ngược góc $\alpha$ và trả lại đúng $z$ . Không có thông tin nào bị mất.

Vì sao cơ học lượng tử cần điều này. Trong cơ học lượng tử, bình phương độ dài của trạng thái là tổng các xác suất, và tổng đó luôn phải bằng 1. Mọi biến đổi hợp lệ vì thế phải giữ nguyên độ dài, đúng như phép nhân với $u$ . Từ Bài 9, các phép biến đổi giữ độ dài trong không gian nhiều chiều được gọi là toán tử unita; $U(1)$ là trường hợp một chiều đơn giản nhất của chúng.

Slide 18 · Mệnh đề 2.23

3. Cộng hai số phức: hiện tượng giao thoa

Độ dài của tổng hai mũi tên không chỉ phụ thuộc vào độ dài của từng mũi tên, mà còn phụ thuộc vào góc giữa chúng. Cùng hướng thì tổng dài nhất; ngược hướng thì có thể triệt tiêu.

Công thức giao thoa tách bình phương độ dài của tổng thành ba phần:

|z_1+z_2|^2 \;=\; \underbrace{r_1^2 + r_2^2}_{\text{chỉ phụ thuộc độ dài}} \;+\; \underbrace{2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}_{\text{số hạng giao thoa}}.

Hai số hạng đầu không quan tâm tới pha. Số hạng thứ ba phụ thuộc vào độ lệch pha $\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ : nó dương khi hai mũi tên gần cùng hướng, âm khi chúng gần ngược hướng, và bằng 0 khi chúng vuông góc.

Độ dài

r_1

Độ dài

r_2

Pha

\varphi_1

Pha

\varphi_2

Hình 3. z₁ màu xanh, z₂ màu nâu được đặt nối tiếp sau z₁, tổng màu đậm. Đồ thị bên phải: đường liền là

|z_1+z_2|^2

theo độ lệch pha, đường đứt là

|z_1|^2+|z_2|^2

; chấm tròn là vị trí hiện tại.

Một bảng tính cụ thể

Lấy $r_1 = r_2 = 1/\sqrt2$ (như bài L6), khi đó $r_1^2 + r_2^2 = 1$ và $2r_1r_2 = 1$ :

Độ lệch pha $\Delta\varphi$	$\cos\Delta\varphi$	$r_1^2 + r_2^2$	Số hạng giao thoa	$\|z_1+z_2\|^2$	Hiện tượng
0°	1	1	+1	2	Tăng cường hoàn toàn
60°	0,5	1	+0,5	1,5	Tăng cường một phần
90°	0	1	0	1	Không giao thoa
120°	−0,5	1	−0,5	0,5	Triệt tiêu một phần
180°	−1	1	−1	0	Triệt tiêu hoàn toàn

Cột thứ ba không đổi trong cả bảng: nếu chỉ cộng các bình phương độ dài, ta luôn được 1 và bỏ lỡ toàn bộ hiện tượng giao thoa.

Ví dụ thực tế 1: tai nghe chống ồn

Âm thanh là sóng, và một sóng được mô tả bởi biên độ và pha, giống một số phức. Tai nghe chống ồn dùng micro thu tiếng ồn bên ngoài, rồi phát ra một sóng âm có cùng biên độ nhưng ngược pha (lệch 180°). Hai sóng cộng lại theo đúng công thức trên với $\cos 180^\circ = -1$ , và tiếng ồn gần như biến mất. Độ to mà tai cảm nhận tỉ lệ với bình phương biên độ, tương ứng với $|z|^2$ .

Ví dụ thực tế 2: đẩy xích đu

Đẩy xích đu đúng lúc nó bắt đầu đi ra xa (cùng pha với dao động), mỗi lần đẩy làm xích đu lên cao hơn. Đẩy vào lúc xích đu đang lao về phía mình (ngược pha), lực đẩy làm nó chậm lại và dừng. Cùng một lực đẩy, kết quả trái ngược nhau chỉ vì thời điểm, tức là pha.

Slide 19 · Hệ quả 2.25

4. Pha toàn cục và pha tương đối

Pha toàn cục là việc xoay tất cả các mũi tên cùng một góc: không có gì quan sát được thay đổi. Pha tương đối là góc giữa các mũi tên với nhau: nó quyết định kết quả giao thoa.

	Pha toàn cục	Pha tương đối
Là gì	Cộng cùng một góc $\alpha$ vào pha của mọi số: $z_1 \to e^{i\alpha}z_1,\ z_2 \to e^{i\alpha}z_2$	Hiệu pha giữa hai số: $\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$
Hình ảnh	Xoay cả bức tranh	Thay đổi góc giữa hai mũi tên
Ảnh hưởng tới $\|z_1+z_2\|$	Không	Có, qua số hạng $2r_1r_2\cos\Delta\varphi$

Lý do pha toàn cục không ảnh hưởng chỉ gói gọn trong một dòng:

|e^{i\alpha}z_1 + e^{i\alpha}z_2| = |e^{i\alpha}(z_1+z_2)| = |e^{i\alpha}|\cdot|z_1+z_2| = |z_1+z_2|.

Tức là xoay cả hai mũi tên cùng một góc thì mũi tên tổng cũng chỉ xoay theo, và độ dài của nó không đổi (mục 2). Ngoài ra, khi cùng cộng $\alpha$ vào cả $\varphi_1$ và $\varphi_2$ , hiệu $\varphi_1 - \varphi_2$ giữ nguyên, nên số hạng giao thoa cũng giữ nguyên.

Ví dụ thực tế 1: đổi múi giờ

Một cuộc họp lúc 9:00 và một buổi thuyết trình lúc 11:00, cách nhau 2 giờ. Nếu cả thế giới cùng chỉnh đồng hồ lùi 1 giờ, lịch trở thành 8:00 và 10:00, nhưng khoảng cách vẫn là 2 giờ, và mọi việc diễn ra như cũ. "Giờ tuyệt đối" giống pha toàn cục: thay đổi nó cho tất cả thì không ai nhận ra. "Khoảng cách giữa hai sự kiện" giống pha tương đối: đó mới là điều quyết định ai gặp được ai.

Ví dụ thực tế 2: xoay tấm bản đồ

Xoay một tấm bản đồ treo tường theo bất kỳ góc nào, khoảng cách từ Hà Nội đến Huế trên bản đồ không đổi, góc giữa hai con đường cũng không đổi. Chỉ hướng của tấm bản đồ so với bức tường thay đổi, và hướng đó không mang thông tin gì về địa lý.

Pha toàn cục

\alpha

(xoay cả hai)

Pha tương đối

\Delta\varphi

Hình 4. Hai mũi tên cùng độ dài

1/\sqrt2

. Kéo thanh "pha toàn cục": cả hình xoay nhưng

|z_1+z_2|^2

đứng yên. Kéo thanh "pha tương đối": hình thay đổi hình dạng và

|z_1+z_2|^2

thay đổi theo.

Liên hệ với cơ học lượng tử

Phần này chỉ để định hướng; các bạn sẽ học kỹ từ Bài 16. Trong cơ học lượng tử, mỗi khả năng của một hệ được gán một số phức gọi là biên độ xác suất, và xác suất quan sát được là bình phương mô-đun của biên độ. Từ đó:

Nhân mọi biên độ với cùng một $e^{i\alpha}$ không làm thay đổi bất kỳ xác suất nào. Vì vậy hai trạng thái chỉ khác nhau một pha toàn cục được coi là cùng một trạng thái vật lý (Bài 16, Bài 18).
Pha tương đối giữa các biên độ thì đo được, vì nó quyết định kết quả giao thoa. Các thuật toán lượng tử (Phần III) điều chỉnh pha tương đối để biên độ của đáp án đúng được tăng cường và biên độ của đáp án sai bị triệt tiêu, giống cách tai nghe chống ồn triệt tiêu tiếng ồn.

Tự kiểm tra

Hãy trả lời trước khi mở đáp án.

1. Tổng năm căn bậc 5 của đơn vị bằng bao nhiêu? Có cần tính từng căn không?

Bằng 0, theo Mệnh đề 2.19 với $n = 5$ . Không cần tính từng căn: năm mũi tên dài bằng nhau chia đều vòng tròn thì cân bằng nhau.

2. Trong hệ điện ba pha, nếu một pha bị ngắt và chỉ còn hai dòng ứng với 1 và ω, dòng trên dây trung tính có độ lớn bao nhiêu (tính theo biên độ của một pha)?

Từ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ suy ra $1 + \omega = -\omega^2$ , nên $|1 + \omega| = |\omega^2| = 1$ . Dòng trung tính bằng biên độ của một pha: hệ mất cân bằng.

3. Số u = (3 + 4i)/5 có thuộc U(1) không? Với z = 2, tính |uz|.

$|u| = \sqrt{9+16}/5 = 1$ , nên $u \in U(1)$ . Do đó $|uz| = |z| = 2$ : phép nhân chỉ quay số 2 đi một góc $\arctan(4/3) \approx 53{,}1^\circ$ .

4. Cho |z₁| = |z₂| = 1. Độ lệch pha nào cho |z₁ + z₂|² = 3?

$|z_1+z_2|^2 = 1 + 1 + 2\cos\Delta\varphi = 3$ , nên $\cos\Delta\varphi = 1/2$ , tức $\Delta\varphi = \pm 60^\circ$ .

5. So sánh cặp (z₁, z₂) = (1, i) với cặp (i, −1). Hai cặp khác nhau bởi pha toàn cục hay pha tương đối? |z₁ + z₂| có thay đổi không?

Cặp thứ hai bằng cặp thứ nhất nhân với $i = e^{i\pi/2}$ : đó là pha toàn cục $90^\circ$ . Vì vậy $|z_1+z_2|$ không đổi: $|1+i| = |i-1| = \sqrt2$ .

6. Thay đổi pha tương đối có luôn làm thay đổi |z₁ + z₂| không? Xét (1, i) và (1, −i).

Không nhất thiết. Độ lệch pha đổi từ $-90^\circ$ sang $+90^\circ$ , nhưng $\cos(-90^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ , nên $|1+i| = |1-i| = \sqrt2$ . Độ lớn của tổng chỉ phụ thuộc vào $\cos\Delta\varphi$ . Tuy vậy, mũi tên tổng có hướng khác nhau trong hai trường hợp; sau này, khi có nhiều biên độ giao thoa với nhau, sự khác biệt về hướng đó sẽ có ảnh hưởng.

Những sai lầm thường gặp

Cộng bình phương độ dài thay vì cộng số phức. $|z_1+z_2|^2$ nói chung khác $|z_1|^2+|z_2|^2$ ; hai đại lượng chỉ bằng nhau khi số hạng giao thoa bằng 0.
Nghĩ rằng hai mũi tên dài bằng nhau thì tổng của chúng phải dài gấp đôi. Tổng dài gấp đôi chỉ khi chúng cùng pha; khi ngược pha, tổng bằng 0.
Nhầm pha toàn cục với pha tương đối. Hãy tự hỏi: các mũi tên có cùng xoay một góc như nhau không? Nếu có, đó là pha toàn cục và không có gì quan sát được thay đổi.
Cho rằng nhân với số phức nào cũng chỉ là quay. Chỉ các số có mô-đun đúng bằng 1 mới là phép quay thuần túy; số có mô-đun khác 1 còn phóng to hoặc thu nhỏ.